|
Иванова Елена Александровна Санкт-Петербургский государственный политехнический университет | |
Взаимодействие тела-точки общего вида с окружающей средой
Обсудим воздействие окружающей среды на помещенную в нее частицу. Далее мы рассмотрим две модельные задачи, но начнем с некоторых предварительных замечаний. Задача о колебаниях осциллятора на упругом волноводе хорошо известна. Постановка задачи заключается в следующем: полубесконечный инерционный стержень соединен посредством безынерционной пружины с точечным грузом; в начальный момент времени груз сместили из положения статического равновесия и сообщили ему начальную скорость. Показано, что математическое описание движения данной системы, содержащей только инерционные и упругие элементы, сводится к уравнению линейного осциллятора с вязким трением. При этом коэффициент вязкого трения зависит от жесткости пружины и величин, характеризующих упругие и инерционные свойства стержня. Случай взаимодействия тела-точки с одномерным полубесконечнм континуумом тел-точек аналогичен указанному выше примеру, с той лишь разницей, что энергия уносится по вращательным степеням свободы, и вместо силы вязкого трения возникает момент вязкого трения. Для обоснования сказанного и определения структуры момента вязкого трения рассмотрим две задачи, которые являются одномерным аналогом задачи о взаимодействии тела-точки с окружающей средой.
Модельная задача 1
Рассмотрим полубесконечный инерционный стержень (см. рисунок), состоящий из тел-точек общего вида. Стержень соединен с аналогичным телом-точкой посредством безынерционной пружины, работающей только на кручение (поворот вокруг оси стержня) и характеризующейся крутильной жесткостью. Инерционные свойства тела-точки определяются массой и моментами инерции. Инерционные свойства стержня характеризуются моментами инерции сечения и погонной плотностью массы. Упругие свойства стержня характеризуются жесткостью на кручение. Предполагается, что силовое взаимодействие между частицами стержня отсутствует. Перемещения и повороты, а также трансляционные и угловые скорости частиц стержня в начальный момент времени равны нулю. Тело-точка обладает ненулевой начальной угловой скоростью, направленной вдоль оси стержня и ненулевым начальным углом поворота вокруг оси стержня. Очевидно, что при таких начальных условиях система будет совершать продольно-крутильные колебания.
 |
Доказано, что после исключения переменных, характеризующих движение стержня, решение задачи сводится к следующей системе уравнений:
 |
 |
Как видно из этой системы уравнений, момент вязкого трения, характеризующий диссипацию энергии в окружающую среду, пропорционален кинетическому моменту тела-точки, т. е. он зависит и от угловой скорости, и от трансляционной. Точнее, момент вязкого трения пропорционален разности между значение кинетического момента в данный момент времени и его значением в начальный момент времени. С одной стороны, это означает, что момент вязкого трения не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. С другой стороны, выражение для момента вязкого трения, также как любое определяющее уравнение, не должно зависеть от начальных условий. Поэтому при использовании инерциальной системы отсчета, в которой частицы невозмущенного стержня неподвижны, можно считать, что момент вязкого трения пропорционален кинетическому моменту. Если используется инерциальная система отсчета, движущаяся относительно невозмущенного стержня, выражение для момента вязкого трения должно быть изменено путем замены абсолютной скорости частицы на скорость частицы относительно невозмущенного стержня. Если B = 0, то зависимость от трансляционной скорости исчезает. В этом случае обсуждаемая задача становится аналогичной задаче о движении обычного осциллятора на упругом волноводе. Коэффициент вязкости выражается через параметры модели. Анализ формулы для коэффициента трения β позволяет сделать вывод, что чем больше крутильная жесткость пружины, соединяющей, тело-точку и стержень, тем больше излучение в окружающую среду. Более подробное описание рассмотренной выше задачи можно найти в статье:
Модельная задача 2
Рассмотрим сферический источник радиуса (см. рисунок), состоящий из тел-точек общего вида. Предположим, что этот источник может пульсировать. При этом тела-точки сферического источника совершают вращательные движения вокруг его радиуса. Углы поворота тел-точек считаются одинаковыми. Инерционные свойства сферического источника характеризуются массой, равномерно распределенной по поверхности источника, и моментами инерции. Сферический источник взаимодействует с окружающей средой посредством упругой связи. Упругая связь представляет собой систему идентичных пружин, работающих на кручение, каждая из которых соединяет тело-точку сферического источника с телом-точкой окружающей среды (см. рисунок).
Сферический источник |
 |
Взаимодействие частиц окружающей среды |
Доказано, что после исключения переменных, характеризующих движение окружающей среды, решение задачи сводится к следующей системе уравнений:
 |
 |
Эти уравнения, также как и уравнения, полученные в случае взаимодействия тела-точки с одномерным континуумом, не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Сравнивая уравнения, полученные для двух случаев, видим, что хотя эти уравнения несколько отличаются друг от друга, у них есть одно важное сходство. В обоих уравнениях присутствуют диссипативные слагаемые, пропорциональные кинетическому моменту. При этом коэффициент вязкого трения β и в том, и в другом случае одинаковым образом зависит от параметров модели. Таким образом, анализ решений двух модельных задач дает основания полагать, что в общем случае момент вязкого трения, характеризующий диссипацию энергии частицы в окружающую среду, пропорционален кинетическому моменту частицы при условии, что используется инерциальная система отсчета, неподвижная относительно невозмущенной окружающей среды. Более подробное описание этой задачи можно найти в статье:
Заключение
Рассмотренные выше модельные задачи могут служить объяснением внутреннего трения в материале, обусловленного взаимодействием атомов (или частиц, составляющих атомы) с электромагнитным полем и другими полями. Разумеется, это не единственный вид внутреннего трения. Однако существование других механизмов внутреннего трения не исключает механизм, описанный выше. Рассмотренные выше модельные задачи могут служить также объяснением различных процессов переноса (например, теплопроводности, электропроводности), т. е. любых процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями диффузионного типа. Действительно, если в дифференциальном уравнении есть слагаемые, содержащие первые производные по времени от каких-то физических величин, эти слагаемые можно рассматривать как "диссипативные" и их присутствие в уравнении можно трактовать как учет взаимодействия материи с полями различной природы.
Для просмотра PDF файлов можно загрузить бесплатную версию Adobe Acrobat Reader.
Инструкция для просмотра публикаций
